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Per gli Studenti
Complementi di matematica (2° anno)

Docenti responsabili:
Barbara Bacchelli, Simone Borghesi, Sandro Levi, Luigi Fontana

PROGRAMMA

Obiettivi e contenuti:

Lo scopo del modulo di Matematica Discreta (complementi) è quello di fornire allo studente le basi teoriche e gli strumenti dell'Algebra Lineare. Saranno poi presentate alcune applicazioni.
Lo scopo del modulo di Analisi Matematica (complementi) è quello di illustrare il concetto di equazione differenziale ordinaria, con esempi significativi, e di presentare i principali aspetti teorici e strumentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di due variabili.

Programma

Parte 1 - Matematica Discreta (complementi): 
Numeri complessi, operazioni, proprietà.
Spazi vettoriali, loro struttura algebrica, esempi. Sottospazi.
Dipendenza lineare, basi, dimensione.
Matrici, operazioni, proprietà. Determinante, teorema di Laplace, teorema di Binet.
Applicazioni lineari, nucleo, immagine, rappresentazione matriciale. Rango di una matrice.
Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli, regola di Cramer.
Matrici simili, autovalori e autovettori. Diagonalizzabilità.

Parte 2 - Analisi Matematica (complementi):
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari e a variabili separabili; equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti  del secondo ordine. Problema di Cauchy.
Funzioni di due variabili. Limite, continuità, derivate parziali e direzionali, gradiente.
Differenziabilità e piano tangente. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz, formula di Taylor.
Estremi assoluti e relativi. Teorema di Weierstrass. Punti stazionari. Matrice hessiana.
Integrale doppio di Riemann, definizione e proprietà. Domini regolari. Integrazione di funzioni continue su domini regolari mediante integrazioni successive. Cambiamento di variabili, coordinate polari.

Risultati di apprendimento previsti:
Lo studente deve aver compreso  i concetti e le tecniche  presentate nel corso e saper risolvere problemi di base.

Prerequisiti:
Matematica Discreta (elementi) e Analisi Matematica (elementi).

Aims and contents:
The first part of the course presents basic facts in Linear Algebra, together with applications to linear systems and matrix calculus .
The second part of the course presents fundamentals of differential and integral calculus in two dimensions, together with examples of ordinary differential equations.

Program details:

Part 1 - Discrete Mathematics (complements):
Complex numbers, operations,  properties.
Vector spaces and their algebraic structure, examples. Subspaces. Linear dependence, bases, dimension.
Matrices, operations and  properties. Determinant,   Laplace's theorem, Binet's theorem.
Linear transformations, kernel and range, matrix representations. Rank of a matrix. Systems of linear equations, Rouché-Capelli's theorem, Cramer's rule.
Conjugate matrices, eigenvalues and eigenvectors. Diagonalizable matrices.

Part 2 - Mathematical Analysis (complements):

First order ordinary differential equations, linear equations, separable variables equations. Second order constant coefficients homogeneous linear equations. Cauchy problem.
Two variables functions. Limit, continuity, partial and directional derivatives, gradient. Differentiability and tangent plane. Higher order derivatives,  Schwarz's theorem, Taylor's formula.
Optimization and extrema. Weierstrass's theorem. Stationary points. Hessian matrix.
Riemann double integral , definition and basic properties. Regular domains. Integration of continuous functions on regular domains by iterated integrations. Changes of variables and polar coordinates.

Learning outcomes :
The student should understand  the ideas and the techniques presented in the course and must be able to solve basic related problems.

Prerequisites :
Discrete Mathematics (elements) and Mathematical Analysis (elements).

Tipo esame (complementi di matematica discreta):
Prova scritta e orale.
I candidati, dopo la prova scritta, verranno classificati come “ammessi” o “non ammessi” alla prova orale.
Gli “ammessi” all’ orale potranno essere “sufficienti” o “non sufficienti”.
Coloro dichiarati “sufficienti” alla prova scritta:avranno un anno di tempo dalla data della prova scritta per sostenere e superare (in qualunque appello dell’anno) la prova orale.
Le date e gli orari degli orali per un determinato appello verranno comunicate insieme ai risultati della prova scritta dell’appello stesso.I docenti si riservano, in caso di non superamento della prova orale, di richiedere la ripetizione della prova scritta.
Coloro dichiarati “non sufficienti”, ma comunque ammessi alla prova orale avranno l’obbligo di sostenere l’orale durante lo stesso appello.
Se risulteranno complessivamente insufficienti dovranno ripetere la prova scritta.
Il candidato che ha superato le prove del modulo di Matematica Discreta (complementi) avrà a disposizione
Due anni per superare le prove del modulo di Analisi Matematica (complementi).

Tipo valutazione:
Final score

Testi consigliati:
Matematica Discreta (complementi):
Dalla Volta Francesca, Rigoli Marco, Elementi di matematica discreta e algebra lineare

Analisi Matematica (complementi):
Adams Robert, Calcolo differenziale 2





 

Approfondimenti

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redazioneweb@disco.unimib.it - ultimo aggiornamento di questa pagina 02/04/2014