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Per gli Studenti
Elementi di matematica

Docente: G. Kuhn, M. Mauri, F. Dalla Volta - M. Avitabile

Crediti: 12 CFU (Matematica Discreta elementi: 6 cfu + Analisi matematica elementi: 6 cfu)


MODULO
Matematica Discreta elementi

Conoscenze:

conoscenze di matematica di base (Scuola Superiore).

Abilita':

uso delle tecniche di logica in un ragionamento matematico; tecniche di dimostrazione;

linguaggio degli insiemi; nozioni introduttive su relazioni, grafi e reticoli; insieme delle classi

di resto modulo n; matrici e sistemi lineari.

Programma

1.Elementi di logica delle proposizioni.

Cenni di logica formale. Operazioni tra proposizioni: congiunzione, disgiunzione, o esclusivo,

implicazione materiale, doppia implicazione, implicazione contronominale, proposizioni

composte. Equivalenza di proposizioni: tautologie e contraddizioni, dimostrazioni

dell'equivalenza di proposizioni. Quantificatori: quantificatore universale e quantificatore

esistenziale; verita' e falsita' di proposizioni contenenti quantificatori, quantificatori multipli,

negazione di un quantificatore.

Tecniche di dimostrazione: deduzioni logiche fondamentali, dimostrazioni dirette e indirette,

dimostrazioni per assurdo, dimostrazioni per induzione (prima e seconda forma). Esempi di

deduzioni errate.

1.Insiemi.

Come si denota un insieme, operazioni tra gli insiemi. Corrispondenze e applicazioni.

Prodotto cartesiano, corrispondenze e relazioni. Applicazioni: iniettivita' , suriettivita' ,

biiettivita'. Applicazioni composte. Cardinalita' di insiemi. Cenni di analisi combinatorica .

1.Numeri naturali e numeri interi.

Divisione tra numeri interi, divisori e multipli, numeri primi (teorema fondamentale

dell'aritmetica), esistenza di infiniti primi. Massimo comun divisore e minimo comune

multiplo, algoritmo euclideo per il calcolo del MCD, identita' di Bezout. Principio di

induzione: prima e seconda forma.

1.Insiemi e relazioni.

Grafo di una relazione. Equivalenze e partizioni, insieme quoziente. Insieme delle classi di

resto modulo n. Ordinamenti: massimo, minimo, elemento massimale, elemento minimale,

maggiorante, minorante, estremo inferiore, estremo superiore. Cenni sui reticoli.

1.Grafi e strutture algebriche.

Reticoli, reticoli booleani. Cammini e circuiti euleriani, alberi e grafi piani. Insiemi dotati di

una operazione: gruppi. Insiemi dotati di piu' operazioni: anelli, campi. Esempi.

Testi consigliati:

1. F.Dalla Volta, M. Rigoli, Elementi di Matematica discreta e Algebra lineare, Pearson

Education, 2007;

2. A. Facchini, Algebra e matematica discreta, DecibelZanichelli;

3. K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, McGrawHill

(in particolare per gli

elementi di logica).


  

MODULO Analisi matematica elementi

Obiettivi
dell'insegnamento:

Obiettivo dell’insegnamento è quello di fornire, assieme ad alcune tecniche elementari di calcolo differenziale e integrale, alcune nozioni teoriche basilari dell'Analisi Matematica riguardanti le successioni e le serie.

Descrizione e Programma dell'insegnamento:

Conoscenze: È il corso introduttivo all'analisi matematica ed è finalizzato all'apprendimento delle principali tecniche del calcolo differenziale e integrale in una variabile.

Abilità: Calcolo di limiti per successioni e per funzioni reli di variabile reale. Riconoscimento delle serie geometrica e armonica generalizzata e loro comportamento.
Disegno di grafici di funzioni, calcolo di integrali.
Possesso della capacità di astrazione necessaria per individuare analogie tra i modelli matematici incontrati nelle diverse discipline.

Programma:

  1. Numeri reali: rappresentazione decimale, estremo superiore e inferiore.
  2. Successioni e limiti di successioni. Teorema dell'unicita` del limite, della permanenza del segno e dei due carabinieri.Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometrica e serie  armonica generalizzata. Criterio della radice e del rapporto.
  3. Funzioni: dominio, immagine, periodicità, simmetrie, biunivocità.Funzioni inverse. Funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche. Il logaritmo naturale e l'esponenziale. Crescita degli esponenziali e dei logaritmi. Funzioni trigonometriche inverse.
  4. Limiti di funzioni. Stime asintotiche. Grafici di funzioni elementari.
  5. Funzioni continue. Teorema di limitatezza e di estistenza di massimo e minimo. Teorema degli zeri, proprietà dei valori intermedi.
  6. Derivata e suo significato geometrico. Condizione necessaria per l'esistenza della derivata. Regole di derivazione. Derivata della funzione inversa con relativi esempi. Teoremi del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, De L'Hopital.
  7. Grafici di funzioni reali di variabile reale. La formula di Taylor. Verso della concavita`.
  8. Definizione di integrale secondo Riemann. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.

 

Modalità di esame: L'esame consiste in una prova scritta e una orale. Durante il corso si terranno due prove scritte parziali, il superamento delle quali farà accedere direttamente alla prova orale.

Testi consigliati:

  • R.Adams, Calcolo differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana
  • M.Bertsch, Istituzioni di Matematiche, Boringhieri
  • C.Canuto e A. Tabacco Analisi Matematica I, Springer
  • C.Pagani e S.Salsa, Matematica, Zanichelli
  • S.Salsa e A.Squellati, Esercizi di Matematica, calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli

 

Saranno inoltre disponibili delle dispense ad uso degli studenti presso la copisteria di viale Sarca 200.

 

Approfondimenti

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redazioneweb@disco.unimib.it - ultimo aggiornamento di questa pagina 25/03/2011