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Per gli Studenti
Analisi matematica I (complementi)

Docenti: B.Bacchelli, L.Fontana
Crediti: 6 CFU

Testi consigliati:

  • R.Adams, Calcolo differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana
  • R.Adams, Calcolo differenziale 2, Casa Editrice Ambrosiana
  • Esercizi in rete

Descrizione e Programma


Prerequisiti:

Analisi Matematica 1 (Elementi).

Conoscenze:

Il corso si propone di fornire nozioni sulle serie numeriche e di potenze, sviluppi in serie di Taylor, elementari nozioni di geometria e topologia dello spazio e di calcolo vettoriale, strumenti di calcolo differenziale in più variabili e di integrazione doppia.

Programma:

  • Successioni e serie numeriche, serie di potenze e di Taylor.
  • Successioni numeriche. Successioni monotone.
  • Serie numeriche. Serie a termini positivi: criterio integrale, del confronto, confronto asintotico, del rapporto, della radice. Serie geometrica, serie armonica, p-serie, (p,s)-serie. Serie a segni alterni: criterio di Leibnitz. Serie assolutamente convergenti.
  • Serie di potenze. Raggio di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Taylor per le funzioni esponenziale, logaritmica e le funzioni trigonometriche.

Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili:

  • Vettori, rette e piani nello spazio. Prodotto scalare e vettoriale. Distanza euclidea, intorni, punti interni e punti di frontiera, insiemi aperti, chiusi, limitati.
  • Limite. Continuità. Derivate parziali e direzionali, vettore gradiente. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie di differenziabilità. Una condizione sufficiente di differenziabilità.
  • Equazione del piano tangente ad una superficie regolare del tipo z=f(x,y).
  • Derivate di ordine superiore al primo. Teorema di Schwartz (*). Formula di Taylor per funzioni di due variabili, resto di Lagrange, resto secondo Peano (*).
  • Estremi assoluti e relativi. Condizioni necessarie per l'esistenza di estremi relativi: punti stazionari, punti singolari e di frontiera. Punti di sella. Una condizione sufficiente per l'esistenza degli estremi assoluti: teorema di Weierstrass (*). Matrice hessiana per lo studio della natura dei punti stazionari.

Calcolo integrale per funzioni di due variabili:

  • Integrale doppio di Riemann su un rettangolo e su domini più generali: definizione. Proprietà di additività rispetto al dominio e rispetto alla funzione(*). Integrabilità delle funzioni continue su insiemi chiusi e limitati(*).
  • Domini x-semplici, y-semplici, domini regolari. Integrazione di funzioni continue su domini regolari: calcolo mediante integrazioni successive.
  • Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari nel piano.

(*) senza dimostrazione

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Approfondimenti

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redazioneweb@disco.unimib.it - ultimo aggiornamento di questa pagina 25/03/2011