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Enrolled
Elementi di matematica

 

Docente responsabile: Maria Gabriella Kuhn

 

 

PROGRAMMA

 

Elementi di logica delle proposizioni.

Cenni di logica formale. Operazioni tra proposizioni: congiunzione, disgiunzione, o esclusivo,

implicazione materiale, doppia implicazione, implicazione contronominale, proposizioni

composte. Equivalenza di proposizioni: tautologie e contraddizioni, dimostrazioni

dell'equivalenza di proposizioni. Quantificatori: quantificatore universale e quantificatore

esistenziale; verita' e falsita' di proposizioni contenenti quantificatori, quantificatori multipli,

negazione di un quantificatore.

Tecniche di dimostrazione: deduzioni logiche fondamentali, dimostrazioni dirette e indirette,

dimostrazioni per assurdo, dimostrazioni per induzione (prima e seconda forma). Esempi di

deduzioni errate.

 

Numeri naturali e numeri interi.

Divisione tra numeri interi, divisori e multipli, numeri primi (teorema fondamentale

dell'aritmetica), esistenza di infiniti primi. Massimo comun divisore e minimo comune

multiplo, algoritmo euclideo per il calcolo del MCD, identita' di Bezout. Principio di

induzione: prima e seconda forma.

Insiemi e relazioni.

 Operazioni tra gli insiemi. Corrispondenze e applicazioni. Prodotto cartesiano, corrispondenze e relazioni. Applicazioni: iniettivita' , suriettivita', biiettivita'. Applicazioni composte. Cardinalita' di insiemi. Cenni di analisi combinatorica .Grafo di una relazione. Equivalenze e partizioni, insieme quoziente. Insieme delle classi di resto modulo n. Ordinamenti: massimo, minimo, elemento massimale, elemento minimale,maggiorante, minorante, estremo inferiore, estremo superiore. Cenni sui reticoli. Grafi e strutture algebriche. Reticoli, reticoli booleani. Cammini e circuiti euleriani, alberi e grafi piani. Insiemi dotati di una operazione: gruppi. Insiemi dotati di piu' operazioni: anelli, campi. Esempi.

Numeri reali: rappresentazione decimale, estremo superiore e inferiore.

Successioni e limiti di successioni. Teorema dell'unicita` del limite, della permanenza del segno e dei due carabinieri.Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometrica e serie  armonica generalizzata. Criterio della radice e del rapporto.

Funzioni: dominio, immagine, periodicità, simmetrie, biunivocità.Funzioni inverse. Funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche. Il logaritmo naturale e l'esponenziale. Crescita degli esponenziali e dei logaritmi. Funzioni trigonometriche inverse.

Limiti di funzioni. Stime asintotiche. Grafici di funzioni elementari.

Funzioni continue. Teorema di limitatezza e di estistenza di massimo e minimo. Teorema degli zeri, proprietà dei valori intermedi.

Derivata e suo significato geometrico. Condizione necessaria per l'esistenza della derivata. Regole di derivazione. Derivata della funzione inversa con relativi esempi. Teoremi del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, De L'Hopital.

Grafici di funzioni reali di variabile reale. La formula di Taylor. Verso della concavita`.

Definizione di integrale secondo Riemann. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.

 

Obiettivi e contenuti

 

Obiettivo dell’insegnamento è quello di fornire, assieme ad un linguaggio formale di base,  alcune tecniche elementari di calcolo differenziale e integrale nonche`  l'uso delle tecniche di logica in un ragionamento matematico e nelle dimostrazioni.

Risultati di apprendimento previsti

 

È il corso introduttivo alla matematica ed è finalizzato all'apprendimento di un linguaggio di base (insiemi, grafi,relazioni, cardinalita`,ordini di grandezza,) nonche` all'acquisizione di concetti di base (gruppi e strutture algebriche, serie infinite e ordini di infinito)delle principali  tecniche di dimostrazione, di alcune tecniche di calcolo differenziale e integrale in una variabile.

Prerequisiti

 

Una buona scuola media superiore.

 

Aims and contents


The aim is to give to students a first  course about  mathematical proof thecniques, an introduction to the Logic and to  Algebraic structures, to the limits  and to differential

and integral  calculus.

 

Program details

 

·          Introduction to mathematical logic.

·          Introduction to set theory: operations between sets. Product of sets.

Relations, maps between sets. Introduction to combinatorics.

·          Integers: operations in the integer numbers; Euclidean alghoritm to find the greatest  common divisor between two integers. Induction.

·          Sets and relations: equivalence relation; order relations. Congruences in Z. Introduction to lattice theory.

·          Graphs and algebraic structures: introduction to graph theory (definition, Eulerian path, trees). Operations on a set: groups, rings fields. Examples of algebraic structures. Zn .

·          Basic properties of numbers: lowest upper bound and highest lower bound. Numbers of various sorts.

·          Sequences and limits: the monotone case. The number e. Infinite series: the geometric series. The armonic series. 

·          Functions: graphs and inverse functions.The trigonometric functions, the logaritm and exponential functions.

·          Derivatives; significance of the derivative. Fermat's and Rolle's Theorems. Lagrange's Theorem and Hopital's test.Taylor's formula.

·          Integrals: the fundamental theorem of caluculus. Integration in elementary terms.

 

Learning outcomes:

in the end of the course, the students should know  the basic language of set theory, the orders of magnitude, the main  techniques   of mathematical Logic;  proof tecniques; infinite series; differential and integral calculus

Prerequisites

 a good knowledge of the mathematics studied in higher school

 

 

Tipo esame:

 

written and oral

 

 

 

 

Tipo esame:

·          Scritto e orale

 

Tipo valutazione:

·          Voto finale

 

 

 

Further readings
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redazioneweb@disco.unimib.it - last update of this page 25/03/2011