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Education
Complementi di matematica (1° anno)

Codice insegnamento: E3101Q101

Contenuti:
Numeri complessi. Spazi vettoriali, applicazioni lineari e matrici. Sistemi lineari. Diagonalizzabilita'. Esempi di equazioni differenziali ordinarie del primo e secondo ordine.
Calcolo differenziale e integrale per funzioni  di due variabili.

Testi di Riferimento:
R. Adams,  Calcolo Differenziale 2,  (Ed. Ambrosiana)
Dalla Volta Francesca, Rigoli Marco, Elementi di matematica discreta e algebra lineare

Obiettivi formativi:
Lo studente deve aver compreso  i concetti e le tecniche  presentate nel corso e saper risolvere problemi di base riguardanti l’algebra lineare, il calcolo in due variabili e le loro applicazioni (sistemi lineari, ottimizzazione, integrali multipli).

Prerequisiti:   
Analisi Matematica

Metodi didattici:
Lezioni e esercitazioni in aula. Tutoraggio su richiesta degli studenti.

Programma Esteso:
ALGEBRA LINEARE: Numeri complessi, operazioni, proprietà.
Spazi vettoriali. Combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi, dimensione. Sottospazi: somma e intersezione. Matrici, operazioni, proprietà. Determinante, teorema di Laplace, teorema di Binet.
Applicazioni lineari, nucleo, immagine, rappresentazione matriciale. Rango di una matrice. Matrice inversa. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli, regola di Cramer.
Autovalori e autovettori. Condizioni necessarie e sufficienti per  la diagonalizzabilità.
ANALISI: Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari e a variabili separabili. Equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Problema di Cauchy.  Rette e piani nello spazio. Funzioni di due variabili. Limite, continuità, derivate parziali e direzionali, gradiente. Differenziabilità e piano tangente. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz, Formula di Taylor.
 Teorema di Weierstrass. Punti stazionari ed estremi locali liberi. Matrice hessiana.
Integrale doppio di Riemann, definizione e proprietà. Domini semplici. Integrazione di funzioni continue su domini semplici mediante integrazioni successive. Cambiamento di variabili, coordinate polari.

Modalità di verifica dell'apprendimento:
Esame finale. 

Tipo esame:
Uno scritto  seguito (se superato)  da un orale

 


Aims and contents:
The first part of the course presents basic facts in Linear Algebra, together with applications to linear systems and matrix calculus . The second one consists of fundamentals of differential and integral calculus in two variables, together with examples of ordinary differential equations.

Program details:
Complex numbers, operations,  properties.
Vector spaces and their algebraic structure, examples. Subspaces. Linear dependence, bases, dimension.
Matrices, operations and  properties. Determinant,   Laplace's theorem, Binet's theorem.
Linear transformations, kernel and range, matrix representations. Rank of a matrix. Systems of linear equations, Rouché-Capelli's theorem, Cramer's rule.
Eigenvalues and eigenvectors. Diagonalizable matrices.

First order ordinary differential equations, linear equations, separable variables equations. Cauchy problem. Second Order homogeneous linear equations.
Two variables functions. Limit, continuity, partial and directional derivatives, gradient. Differentiability and tangent plane. Higher order derivatives,  Schwarz's theorem, Taylor's formula.
Optimization and extrema. Weierstrass's theorem. Stationary points. Hessian matrix.
Riemann double integral , definition and basic properties. Simple domains. Integration of continuous functions on simple domains by iterated integrations. Changes of variables: polar  coordinates. 

Learning outcomes: 
The student should understand  the ideas and the techniques presented in the course and must be able to solve basic  problems  related to linear algebra and calculus of two variables such as (but not limited to) discussing the existence and finding solutions of linear systems of equations, finding maxima/minima of regular functions, apply integral calculus to practical geometrical problems.

Prerequisites:
Analisi Matematica

Course’ s exam procedures:
Written and oral examination

Further readings
(C) Copyright 2016 - Dipartimento Informatica Sistemistica e Comunicazione - Viale Sarca, 336
20126 Milano - Edificio U14
redazioneweb@disco.unimib.it - last update of this page 11/11/2013