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Didattica
Analisi matematica

Codice insegnamento: E3101Q100

Contenuti:
Numeri reali.   
Successioni e serie: limiti, criteri di convergenza e divergenza. Serie geometrica e serie  armonica generalizzata. 
Funzioni: dominio, immagine, periodicità, simmetrie, biunivocità. Funzioni inverse. Funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche.  Funzioni trigonometriche inverse.  Limiti di funzioni. Funzioni continue e Teoremi relativi. Derivata e suo significato geometrico. Regole di derivazione. Teoremi del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, De L'Hopital.
Grafici di funzioni reali di variabile reale. La formula di Taylor. Verso della concavita`.
Definizione di integrale secondo Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.

Testi di riferimento:
R.A. Adams: Calculo Differenziale I (Ed. Ambrosiana)
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica I (Ed Zanichelli) 

Obiettivi formativi:
Obiettivo dell’insegnamento è quello di fornire, assieme ad un linguaggio formale di base,  alcune tecniche elementari di calcolo differenziale e integrale nonche`  l'uso delle tecniche di logica in un ragionamento matematico e nelle dimostrazioni.

Prerequisiti:
Una buona scuola media superiore.

Metodi didattici:
Insegnamento in aula, esercitazioni in aula e in modalita` e-learning, tutoraggio in aula e on-line.

Programma esteso:
Numeri reali: rappresentazione decimale, estremo superiore e inferiore.
Successioni e limiti di successioni. Teorema dell'unicita` del limite, della permanenza del segno e dei due carabinieri.Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometrica e serie  armonica generalizzata. Criterio della radice e del rapporto.
Funzioni: dominio, immagine, periodicità, simmetrie, biunivocità.Funzioni inverse. Funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche. Il logaritmo naturale e l'esponenziale. Crescita degli esponenziali e dei logaritmi. Funzioni trigonometriche inverse.
Limiti di funzioni. Stime asintotiche. Grafici di funzioni elementari.
Funzioni continue. Teorema di limitatezza e di estistenza di massimo e minimo. Teorema degli zeri, proprietà dei valori intermedi.
Derivata e suo significato geometrico. Condizione necessaria per l'esistenza della derivata. Regole di derivazione. Derivata della funzione inversa con relativi esempi. Teoremi del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, De L'Hopital.
Grafici di funzioni reali di variabile reale. La formula di Taylor. Verso della concavita`.
Definizione di integrale secondo Riemann. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.

Modalità di verifica dell'apprendimento:

Esame scritto e prova orale.


Basic properties of numbers: lowest upper bound and highest lower bound. Numbers of various sorts. Sequences and limits: the monotone case. The number e. Infinite series: the geometric series. The armonic series.  Continuity. Examples of continuous functions:the trigonometric functions, the logaritm and exponential functions: graphs and inverse functions. Weierstrass's and Darboux's Theorems.
Derivatives; significance of the derivative. Fermat's and Rolle's Theorems. Lagrange's Theorem and Hopital's test.
Taylor's formula. Integrals: the fundamental theorem of caluculus. Integration in elementary terms.

Aim of the course:
The student should get accostumed  with differential and integral calculus for functions of one variable.
Some elementary basic logic will also be needed.

Detailed Program:
Real numbers: lowest upper bound and highest lower bound.
The extended real field. Numerical sequences and series.
Limits: monotonic sequences. The number e. Infinite series: the geometric series. The Root and Ratio test. The armonic series.
Limits of functions.Continuity. Examples of continuous functions:the trigonometric functions, the logaritm and exponential functions: graphs and inverse functions. Weierstrass's and Darboux's Theorems.
The derivative of a real function.  Fermat's and Rolle's Theorems. Lagrange's Mean value  Theorem and Hopital's Rule.Taylor's Theorem and Taylor's formula.
Riemann Integral: definition and existence. The fundamental theorem of caluculus. Integration in elementary terms.

Prerequisites:
A good High School

Bibliography:
R.A. Adams: Calculo Differenziale I (Ed. Ambrosiana)
Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica I (Ed Zanichelli)

Final exam:
Written and oral exam.

 

Approfondimenti

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